Stato - Aetherwisp

Lo stato è l'insieme di informazioni che definiscono completamente il sistema. Si distinguono stati puri, individuati da un singolo punto nello spazio delle fasi, e stati misti, individuati da una distribuzione di probabilità nello spazio delle fasi. In altre parole, uno stato puro è determinato univocamente dai suoi parametri, mentre uno stato misto è una miscela di più stati puri. Un esempio di stato misto è un fascio di elettroni con Spin up e down, presumibilmente divisi al 50% l'un l'altro, mentre uno di stato puro sarebbe lo stesso fascio di elettroni selezionato da un apparato di Stern-Gerlach a modo di avere solo spin up o down. Uno stato misto può nascere sia da un ensemble di stati puri, campionati a caso (come il fascio di elettroni), ma anche da due stati intrecciati.

In meccanica classica, conoscere lo stato puro significa sapere con esattezza tutte le osservabili di quel sistema. In meccanica quantistica, significa conoscere le distribuzioni di probabilità delle osservabili del sistema. Uno stato puro quantistico non può essere descritto come Convex combination di altri stati.

In sistemi composti da grandi numeri di particelle (come quelli della meccanica statistica), si distinguono due tipi di stato, per convenienza. Si dice microstato l'insieme di tutti gli stati delle singole particelle, e macrostato lo stato del sistema in generale, identificato da alcune proprietà macroscopiche e un'equazione di stato. Il macrostato è uno stato misto composto dai microstati accessibili.

Rappresentazione vettoriale#

Uno stato può essere rappresentato da un vettore in un certo Vector space, che dipende dal sistema in esame (o meglio, dalla matematica che si usano per formalizzarlo). In meccanica quantistica, il vettore esiste in uno Spazio di Hilbert $\mathcal{H}$ ed è spesso rappresentato usando un ket. Dunque, uno stato $\mathcal{S}$ può quindi essere scritto $|\mathcal{S}(t)\rangle\in \mathcal{H}$ (assumendo che vari nel tempo).

Come tutti i vettori, può essere espresso in termini di una base arbitraria dello spazio. Infatti, la Funzione d'onda non è altro che il coefficiente dell'espansione nella base (o meglio, Sistema ortonormale completo) delle autofunzioni di una certa quantità. Per esempio, per la posizione

\Psi(x,t)=\langle x|\mathcal{S}(t)\rangle

e per la quantità di moto

\Phi(p,t)=\langle p|S(t)\rangle

dove $|x\rangle$ e $|p\rangle$ rappresentano l'autofunzione di $\hat{x}$ e $\hat{p}$ associata all'autovalore $x$ e $p$ . Come ci si aspetta, otteniamo un coefficiente continuo. Nel caso di un'osservabile con Spettro discreto, come l'energia, troviamo coefficienti discreti:

c_{n}(t)=\langle n|\mathcal{S}(t)\rangle

con $|n\rangle$ l' $n$ -esima autofunzione dell'Operatore Hamiltonian $\hat{H}$ . La cosa più importante qui è che sono tutti completamente equivalenti. La funzione d'onda in posizione, quella in momento e i coefficienti dell'energia contengono tutti le stesse identiche informazioni; cambia solo il modo in cui vengono espressi. Infatti, è assolutamente possibile convertire tra queste quantità senza alcuna perdita di informazione:

\Psi(x,t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi(y,t)\delta(x-y)dy=\int_{-\infty}^{+\infty}\Phi(p,t) \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ipx/\hbar}dp=\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar}\psi_{n}(x)

Rappresentazione proiettiva#

I termini di operatori, gli stati puri corrispondono ad un Proiettore che proietta su quello stato. Per esempio, uno stato puro $\psi$ è associato al proiettore

\hat{P}_{\psi}=\ket{\psi} \bra{\psi} \qquad\text{(stato puro)}

Uno stato misto, invece, è associato ad una Convex combination di proiettori:

\hat{\rho}=\sum_{i=1}^{d} \lvert \braket{ a_{i} | \psi } \rvert ^{2}\hat{P}_{a_{i}}\qquad\text{(stato misto)}

dove $\ket{a_{i}}$ sono i singoli stati della miscela con i loro proiettori $\hat{P}_{a_{i}}$ . La lettera $\rho$ è una lettera standard per denotare stati misti e rappresenta la Matrice di densità. Algebricamente possiamo scrivere

\hat{\rho}=\sum_{i=1}^{d} \braket{ a_{i} | \psi } \ket{a_{i}} \bra{a_{i}} \braket{ \psi | a_{i} } =\sum_{i=1}^{d} \ket{a_{i}} \bra{a_{i}} \ket{\psi} \bra{\psi} \ket{a_{i}} \bra{a_{i}} =\sum_{i=1}^{d} \hat{P}_{a_{i}}\hat{P}_{\psi}\hat{P}_{a_{i}}

Quindi anche uno stato misto può essere visto esclusivamente in funzione dei proiettori sugli stati della miscela.

> Consideriamo uno stato generico $\ket{\psi}$ in $\mathbb{C}^{2}$ e il suo proiettore > $$\hat{P}_{\psi}=\ket{\psi} \bra{\psi}=\begin{pmatrix} > \alpha \\ > \beta > \end{pmatrix}(\alpha^{*}\ \beta^{*})=\begin{pmatrix} > \lvert \alpha \rvert ^{2} & \alpha \beta^{*} \\ > \alpha^{*}\beta & \lvert \beta \rvert ^{2} > \end{pmatrix}

Ricordiamo che
$\alpha \\ \beta \end{pmatrix}=\alpha \ket{\uparrow z} +\beta \ket{\downarrow z}$

> quindi $\psi$ è una miscela convessa di stati up e down. Vogliamo rappresentare lo stato misto usando quanto abbiamo appena visto. Allora > $$\hat{\rho}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ > 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} > \lvert \alpha \rvert ^{2} & \alpha \beta^{*} \\ > \alpha^{*}\beta & \lvert \beta \rvert ^{2} > \end{pmatrix}\begin{pmatrix} > 0 & 0 \\ > 0 & 1 > \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} > 0 & 0 \\ > 0 & 1 >\end{pmatrix}\begin{pmatrix} > \lvert \alpha \rvert ^{2} & \alpha \beta^{*} \\ > \alpha^{*}\beta & \lvert \beta \rvert ^{2} > \end{pmatrix}\begin{pmatrix} > 1 & 0 \\ > 0 & 0 > \end{pmatrix}=

$\lvert \alpha \rvert ^{2} & \alpha \beta^{*} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \alpha^{*}\beta & \lvert \beta \rvert ^{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=$

> $$=\begin{pmatrix} > \lvert \alpha \rvert ^{2} & 0 \\ > 0 & 0 > \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} > 0 & 0 \\ > 0 & \lvert \beta \rvert ^{2} > \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} > \lvert \alpha \rvert ^{2} & 0 \\ > 0 & \lvert \beta \rvert ^{2} > \end{pmatrix}

che ci dà una matrice diagonale che rimuove i termini $\alpha \beta$ , generalmente detti termini di interferenza.